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题目链接
https://cn.vjudge.net/problem/FZU-1759
题目大意
A^B mod C,其中b是一个非常大的数
算法实现
欧拉函数是指:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 。
通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。
对于质数p,φ(p) = p – 1。注意φ(1)=1.
欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有aφ(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——
若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n)
欧拉函数还有这样的性质:
设a为N的质因数,若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a;若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有:E(N) = E(N / a) * (a – 1)。
因此欧拉函数实现:
ll ol(ll x){
ll i,res=x;
for(i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
res=res-res/i;
while(x%i==0)
x/=i;
}
}
if(x>1)
res=res-res/x;
return res;
}
而降幂公式为
代码
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll ol(ll x){
ll i,res=x;
for(i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
res=res-res/i;
while(x%i==0)
x/=i;
}
}
if(x>1)
res=res-res/x;
return res;
}
ll qpow(ll x,ll y,ll mod){
ll res=1;
while(y){
if(y%2)
res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
y/=2;
}
return res;
}
int main()
{
ll a,c,ans,oula,b;
string s;
while(cin>>a>>s>>c){
ans=0;
b=0;
oula=ol(c);
int l=s.size();
for(int i=0;i<l;i++){
char ss=s[i];
b=(b*10+ss-'0')%oula;
}
b+=oula;
ans=qpow(a,b,c);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
参考博客:https://blog.csdn.net/haut_ykc/article/details/76228481