Super A^B mod C(欧拉降幂模板)

题目链接

https://cn.vjudge.net/problem/FZU-1759

题目大意

A^B mod C,其中b是一个非常大的数

算法实现

欧拉函数是指:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 。

通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。

对于质数p,φ(p) = p – 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——

若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质:

设a为N的质因数,若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a;若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有:E(N) = E(N / a) * (a – 1)。
因此欧拉函数实现:

ll ol(ll x){
    ll i,res=x;
    for(i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            res=res-res/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)
        res=res-res/x;
    return res;
}

而降幂公式为

代码

#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll ol(ll x){
    ll i,res=x;
    for(i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            res=res-res/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)
        res=res-res/x;
    return res;
}
ll qpow(ll x,ll y,ll mod){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y%2)
            res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y/=2;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ll a,c,ans,oula,b;
    string s;
    while(cin>>a>>s>>c){
        ans=0;
        b=0;
        oula=ol(c);
        int l=s.size();
        for(int i=0;i<l;i++){
            char ss=s[i];
            b=(b*10+ss-'0')%oula;
        }
        b+=oula;
        ans=qpow(a,b,c);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

参考博客:https://blog.csdn.net/haut_ykc/article/details/76228481

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